和群體2認為“B優於C”，群體3認為“C優於B”，投票結果是：B以2比1戰勝C。
既然A戰勝了B，B又戰勝了C，似乎是，如果對A與C進行投票，A應當戰勝C。對於任何一個理性的投票人，這是自然的。但是，當群體對A和C進行投票時，C以2比1戰勝了A！
這就是阿羅悖論，又稱為孔多塞投票悖論、迴圈投票悖論。當然，投票中不是任何時候都會產生投票悖論。三個群體對3個方案的可能偏好狀態為216個，出現悖論的狀態是6個，即悖論的可能性是1/36即。
投票悖論這個現象所反映的問題具有重大的理論意義，它反映了在社會加總成員偏好過程中，存在致命的缺陷，這正是著名的“阿羅不可能性定理”所揭示的。
這個例子反映的道理是深刻的。如果社會對幾個方案進行表決，如國家選舉總統、某個城市讓市民決定先修建哪個公共事業工程，等等，這個例子說明，社會投票很可能得出矛盾的結果。
對於社會的選擇問題，阿羅認為，在非*的情況下，不存在任何加總社會個體成員偏好的方法。
所謂加總社會偏好即找到一個社會偏好函式，阿羅提出了這樣的函式要滿足4條公設：第一，定義域不受限制，即適合所有的個人的偏好型別；第二，非*，即社會偏好不以一個人或少數人的偏好來決定；第三，帕累託原則，即所有人的偏好都認為a優於b，那麼社會偏好也是a優於b；第四，獨立性，即不管個人對除了a與b的其他的偏好順序發生什麼變化，只要所有個人對a與b的偏好不變，那麼社會對a與b的偏好不變。
這4條公設是基本的，或者自明的。但是，阿羅論證了不存在這樣的社會福利函式。我們設計出來的揭示偏好的選舉方法，其結果不具有傳遞性，從而會產生矛盾。我們在數學中的“大於（》）”的關係是具有傳遞性的：如果a》b，並且b》c，那麼a》c。如果社會選舉的結果是“a優於b”，“b優於c”並且“a優於c”，那麼社會偏好就是滿足傳遞性的，但事實上，在非*的情況下我們往往做不到。這就是阿羅不可能性定理的意思。
阿羅定理指的是，社會沒有一種客觀地反映群體的社會偏好的方法。如果某種偏好得以反映出來，如臺灣*當選“總統”，或者小布什而不是戈爾當選美國第53任總統，那完全取決於所確定的“*”的選舉規則。另外一套規則得出的完全可能是另外一種結果。
戈爾比小布什多幾十萬張選票，然而美國實行的投票人制度是，誰獲得了某一州的多數票，那麼他就獲得該州所分配的選舉人的選票，小布什與戈爾之爭的關鍵是佛羅里達州的選舉結果，小布什獲勝就在於他以微弱優勢獲得了佛羅里達州的25張選舉人票。最後，小布什與戈爾的選票之比為277∶266。小布什獲勝。
你會說，透過一次性投票來決定誰當選，即對候選人或候選方案進行一次性表決，這應該是合理的。但是，這很有可能讓選民最不喜歡的人或方案當選。
舉一個例子。假定有4個候選人，他們是A、B、C、D，假定有26％的人“最喜歡”A，各有25％的人“最喜歡”B和C，有24％的人“最喜歡”D。現在進行一次性投票，A當選。而很有可能的是“最喜歡”B、C、D的那些人“最不喜歡”A，即：“最不喜歡”A的人有74％！在這種規則下，最多人“最不喜歡”的候選人當選了！這樣的規則合理嗎？很有可能的是，臺灣的*就是這裡的A。
如果有一種確定了的規則，並且候選人的競選綱領在選民心裡得到確切的定位，即每個選民對不同的候選人確定了其偏好程度，那麼結果是確定的。而為什麼不同的候選人同意同樣的規則呢？因為，每個候選人總會盡量以其競選綱領及個人魅力贏得選民的偏好。這裡有一個真理：假如你的競選綱領及個人魅力贏得了所有的選民，即對所有選民進行偏好排序，你都是在最前面的，那麼在任何選舉規則下你都會被選中。同樣，如果你永遠排在最後面，那麼無論什麼規則，你都不會選中。這一點可以用數學證明。
同時，候選人接納某種*的選舉規則而參與競選，是因為他無法預先知道每個選民的偏好。*的選舉是人們以此來揭示選民的心理排序情形的方法。阿羅不可能性定理正說明了人的有限理性的悖論。
此外，阿羅定理說的是，社會的選擇方法不可能既是有效率的，又是*的。因為迴圈投票本身就是無效率的，而有效率的方式必須是*的。這就再次揭示了*和效率的矛盾