種說法也適用於傳遞性運演等等。
①“分割”是確定量度單位，“位移”是確定某一量度物件包含有多少個單位，這實際上就是進行“包含除法”的具體運算。——譯註
B。現在讓我們談談逐步被結構化的結構的嚴格性和必然性。梅耶遜是想把推理的作用歸結為只限於運用同一性的過程的，他有“哲學的勇氣”堅持認為：數學創新到何種程度，它就從現實借用到何種程度，並在這同樣的程度上變成非理性的。就梅耶遜的觀點說，只有同一性會給我們以不證自明性，而“根本不同”則超出了理性思維的範圍：所以，運演本身可以認為是部分地自現實派生出來的，因為運演擴充套件了活動的範圍；而且運演又引來了一個將隨建構的增加而不可避免地增加的非理性因素。這種觀點是有趣的，因為它暗示在豐富性和嚴格性之間有一種反比關係——雖然這不是在邏輯實證論的意義上說的，在邏輯實證論中標誌著整個數學特性的那種同語反覆，則暗示的是最大的嚴格性和最少的新異性。再者，梅耶遜是比戈布勞更為前後一致的，按照梅耶遜的觀點，說明數學的富有成效性的那些運演建構僅僅是從早已被公認的命題中推匯出來的。但是，已被公認的命題要末事先就包含著運演建構所得到的結果，因而就沒有什麼創新；要末並沒有包含運演建構所得到的結果，那麼在這樣的情況下，已被公認的命題又如何能證實新命題的正確性呢？因為光是在早先的結構和新結構之間的無矛盾性是不足以保證新結構的必然性的。
需要說明的顯著而又幾乎自相矛盾的事實是：豐富性和必然性總是連在一起的。不可否認，所謂“現代”數學的顯著進展，是以數學進展的兩個互相關聯的方面，即以增多了的建構性和提高了的嚴格性作為其特點的。所以，我們一定要在這些結構本身的建構的內部來探索這種以前布特羅曾稱之為“內在必然性”的秘密。此外，看來區分必然性的兩種水平是合理的：用科爾努的話來講，這兩種水平就是單純的邏輯論證和為應予論證的結論提出“理由”的那些論證。前者只是使我們能看到結論是怎樣從已把結論包含於其中的那些前提的組合中推匯出來，而後者則抽象出一種導致結論的合成法則，這個法則再次把建構性和嚴格性集攏在一起。
一個特別明顯的例子是由遞迴推論所提供的，在那裡論證是以數的完整序列為基礎，以致對一個結構的內部特性是根據整個體系的規則和這個結構的反覆迭代來闡明的。而且存在著一種發生學上的顯著類比（《研究報告》第十七卷）。歸類和序列化的綜合產生了數，但只是在七歲到八歲時才產生數的集合體的守恆；然而五歲半以上的被試，讓他用一隻手一次把一個珠子放到一個看得見的容器裡，同時又用另一隻手把珠子放到一個蓋著布簾的容器裡時，他們能夠領會這兩個集合體是會保持相等的。一個在別的測驗中沒能解決守恆問題的五歲兒童說：“只要你懂了一次，你就一直會懂”。（這似乎可以這樣解釋：每一次增加一個珠子就等於歸類時的序列化，而手的運動的繼續也有它自己的順序，這引起了歸類和序列化的區域性而短暫的綜合。）
總之，如果結構的增多是豐富性的標誌，那末，結構的內部組合法則（例如可逆性P。P－1＝0；無矛盾性的起點）或外部組合法則（結構間的同構性），僅只根據結構的反覆迭代所引起的那些閉合作用以保證結構的必然性（從發生學的觀點去看傳遞性的例子：見本書第一章第四節）。但是在這裡區分結構化的不同程度是有用的。因此，我們可以把那類結構稱為“弱結構類”，在這類結構中不存在一條組合定律，使我們能從整體的特性過渡到部分的特性（例如從無脊椎動物過渡到軟體動物）或從一個部分的特性過渡到另一個部分的特性（從軟體動物過渡到腔腸動物）；並且把那些隱含著這種獲得了良好調節的轉換的結構（例如，群和它的子群）稱為“強結構類”。這個在發生學水平上已然是正確的區分，也許同自戈德爾的工作以來就流行的那種關於結構“強度”有大有小的概念是有關聯的。我們甚至不排除區別出不同程度的矛盾的可能性：例如，對我們說來，斷言n－n0，似乎就比斷言一種弱結構的質的類A－A0更加矛盾。無論如何，雖則在算術上可以證明一切零類都是同一的，但沒有土豆並不等於沒有菠菜。①
①有一個過分講邏輯的餐館主人的故事：他拒絕供應“不帶土豆的牛排”，因為那一天他沒有土豆；但是他卻提出要供應“不帶菠菜的牛排”來代替，因為他有著一些菠菜。
C。現在來談談數學和現實之間的關係。讓我們首先